ガーディニウム・パンニング・ハムチーズのカモ信託事件
ガーディニウム・パンニング・ハムチーズはその日も食べる物がなく、
パン屋で生地をこねるのを手伝う事で飢えをしのいでいました。
売り物にならない失敗品を毎日たらふく食べて「毎日おいしい物が食べれて幸せだなぁ。」と満足して、
お昼も正午を過ぎたあたりから外で休憩していたら、うっかり寝てしまいました。
ハムチーズがふと目を覚ますと、目の前にカモの群れがおり、
食べ物をめぐって仲間同士で取り合いの殴る蹴るの大喧嘩をしているではありませんか。
ハムチーズはいじわるにも彼らに手に入れたパンをあげる事はなく、
食べ物を巡って大げんかするカモ達を
ただ眺めていました。ハムチーズはとってもケチだったのです。
それに気付いた一匹のカモが、にこにこ笑いながらハムチーズに
近付いて来てこう言いました。
「ハムチーズさん。こんな数式の計算をやってみたらどうでしょうか。」
と言い、見た事もない数式を紙に書いて渡しました。
「なんだこりゃああああああああああ！！！」
驚き叫んだハムチーズは毎日のように徹夜で計算をするようになりました。
カモはハムチーズが寝る間も惜しんで
計算する様を見て、にっこり笑ってまた仲間のカモ達と大喧嘩を始めました。
ある昼過ぎの午後、ハムチーズはパン作りの休憩の時、外で横になっていると、
またうっかり眠ってしまいました。
そのすぐ近くで大げんかをしていたカモたちは突然ケンカをやめ、
ハムチーズが書いた色々な計算式の紙を見てこう言いました、
「センスないね。」「こりゃ駄目だね。こいつ役に立たないね。」
そしてまたカモ達は大喧嘩を始めました。
(もちろんぜんぶデタラメです)
仮に
「ガーディニウム・パンニング・ハムチーズのカモ信託式」
とでも呼ぶ事にしましょう。
(もうちょっとまともな話や名前思いつかないのかよw)
n ・ ( n + 1 ) ・( n + 2 ) ・( n + 3 ) ・( n + 4 ) =
5!! ・
(
0 +
n-1
Σ
l=0
(
8 +
l-1
Σ
j=0
(
32 +
j-1
Σ
i=0
(
48 +
i-1
Σ
k=0
(
32 + 8k
)
)
)
)
)
48+〜 の括弧内 =4 * ( n + 3 ) ・( n + 4 )
32+〜 の括弧内 =
4
3
・ ( n + 2 ) ・ ( n + 3 ) ・( n + 4 )
8+〜 の括弧内 =
1
3
・ ( n + 1 )・ ( n + 2 ) ・ ( n + 3 ) ・( n + 4 )
0,8,32,48,8の各数は、その右側の式が必ず n を因数に持ちます。それを上記式にするための
数となるようです。
偶然にしては不思議な数です。
「各数を和の中に押し込めば何か新しい式が出るのでは？」
と思われるかも知れませんが、色々やってみたけど、
あまり大した式は出て来ないようです。
大丈夫？この計算本当に合ってるの？
上記の式をしつこく弄り回しみたところ、(まだやってんのかよ！！)
n
Σ
k=0
(
1
3!
・ k ・ ( k + 1 )
・ ( 2k + 3a + 1)
)
=
1
4!
・ k ・ ( k + 1 ) ・ ( k + 2 )
・ ( 2k + 4a + 2)
その和 =
1
5!
・ n ・ ( n + 1 ) ・ ( n + 2 ) ・ ( n + 3 )
・ ( 2n + 5a + 3)
その和 =
1
6!
・ n ・ ( n + 1 ) ・ ( n + 2 ) ・ ( n + 3 ) ・ ( n + 4 )
・ ( 2n + 6a + 4)
になるようです(たぶん)。
「センスないね。」「こりゃ駄目だね。こいつ役に立たないね」。
n
Σ
k=0
{
2k + 3
}
= ( k + 1 ) ( k + 3 )
( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) =
3
n
Σ
k=0
{
k ( k + 1 ) + 2k + 2
}
( k + 1 ) ( k + 3 ) ( k + 5 ) = 3
n
Σ
k=0
{
k ( k + 1 ) + 4k + 5
}
n
Σ
k=0
{
4k ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 3k ( k + 1 ) + 2k
}
= n ( n + 1 ) ( n + 3 )2
n
Σ
k=0
{
4k ( k + 1 ) ( k + 2 ) +
3
2
k ( k + 1 ) + k
}
= 2n ( n + 1 ) ( n + 3 ) ( 2n + 5 )
n
Σ
k=0
{
6k ( k + 1 ) ( k + 2 ) +
3
2
k ( k + 1 ) + k
}
= 2n ( n + 1 ) ( n + 3 ) ( 3n + 7 )
n
Σ
k=0
{
8k ( k + 1 ) ( k + 2 ) +
3
2
k ( k + 1 ) + k
}
= 2n ( n + 1 ) ( n + 3 ) ( 4n + 9 )
n ・
n
Σ
k=0
{
1
}
=
n
Σ
k=0
{
2k
}
n ・
n
Σ
k=0
{
k
}
=
n
Σ
k=0
{
3
2
k ( k + 1 )
- 2 k
}
n ・
n
Σ
k=0
{
k ( k + 1)
}
=
n
Σ
k=0
{
4
3
k ( k + 1 ) ( k + 2)
- 3 k ( k + 1 )
}
n ・
n
Σ
k=0
{
k ( k + 1) ( k + 2)
}
=
n
Σ
k=0
{
5
4
k ( k + 1 ) ( k + 2) ( k + 3)
- 4 k ( k + 1 ) ( k + 2 )
}
n ・
n
Σ
k=0
{
k ( k + 1) ( k + 2) ( k + 3)
}
=
n
Σ
k=0
{
6
5
k ( k + 1 ) ( k + 2) ( k + 3) ( k + 4)
- 5 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )
}
n ・
n
Σ
k=0
{
k ( k + 1) ( k + 2) ( k + 3) ( k + 4)
}
=
n
Σ
k=0
{
7
6
k ( k + 1 ) ( k + 2) ( k + 3) ( k + 4) ( k + 5)
- 6 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 )
}
「センスないね。」「こりゃ駄目だね。こいつ役に立たないね」。
1
24
・(n + a) ・ (n + a + 1 )・ (n + a + 2 ) ・ (n + a + 3 ) -
n
Σ
k=0
1
6
・(k + a)・(k + a + 1 ) ・ (n + a + 2 )
=
1
24
・a ( a - 1) ・a ・ (a + 1 )・ (a + 2 )
最初に提示されたカモ預託式はこの変形版になるようですが、どうやら細部では若干違うようです（後述）。
この式は、
上の式の右辺
=
k + a
Σ
k=0
{
（ ... )
}
-
a - 1
Σ
k=0
{
（ ... )
}
と変形する事で簡単に説明出来ます。
こんだけ。
つまり、a+8までだろうがa+100までだろうが成り立つ事はほぼ間違いなしです！
無駄な計算お疲れ様でした。
ここで仮にこの式を「 ka 式 」と呼ぶことにします。
カモ預託式に現れる、0とか8とか32とか48とかいう不規則は数字が何の数字なのか？
を理論導出を試みてみます。
カモ預託式を 5!! から 5! でカッコし直してさらに4+〜内のカッコ内(元は32+〜内のカッコ内です)を抜き出し、
4+〜 の括弧内 =
1
2
・
1
3
・ {( n - 1 ) + 3 } ・{( n - 1 ) + 4 } ・{( n - 1 ) + 5 }
ここで次の ka 式をまず用意。
n
Σ
k=0
{( k + a ) ・ ( k + a + 1 )}
=
1
3
・ ( n + a ) ・ ( n + a + 1 ) ・ ( n + a + 2)
-
1
3
・ ( a - 1 ) ・ a ・ ( a + 1 )
右辺第二項を左辺に移動し、左右を入れ替えると
1
3
・ ( n + a ) ・ ( n + a + 1 ) ・ ( n + a + 2)
=
1
3
・ ( a - 1 ) ・ a ・ ( a + 1 )
+
n
Σ
k=0
{( k + a ) ・ ( k + a + 1 )}
さらに n を n-1 に置換します。(和の中の k は一切変更が無い点に注意！)
1
3
・{ ( n - 1 ) + a }
・{ ( n - 1 ) + a + 1 }
・{ ( n - 1 ) + a + 2 }
=
1
3
・ ( a - 1 ) ・ a ・ ( a + 1 )
+
n-1
Σ
k=0
{( k + a ) ・ ( k + a + 1 )}
上記の式左辺は4+〜 の括弧内(元は32+〜のカッコ内)と同じですから、4+〜 の括弧内＝...を上記式の右辺へと置換すると
=
1
2
・
{
1
3
・ ( 3 - 1 ) ・ 3 ・ ( 3 + 1 )
+
n-1
Σ
k=0
{( k + 3 ) ・ ( k + 3 + 1 )}
}
という感じで、右辺第１項目が見事に４(元は32)が出てくるわけです。
同様の計算で32,48,32 などの数もどうやら出て来るようです。
ここで得られた教訓として、nをn-4だとうがn-6だろうが、どう変えても柔軟に別の
形の和の式を得る事が出来る。という点が分かります。
よその和の式を置き直す時に便利になるであろう事が一応は予想される訳です。
(まぁ複雑過ぎて使う人おらんだろうけど)
あれれ係数５が消えない・・・あれぇぇーーー？計算ミスかなぁ？ありゃ・・・。
「センスないね。」「こりゃ駄目だね。こいつ役に立たないね」。
もどる
ほーむ