ガーディニウム・パンニング・ハムチーズの導関数多項式
ガーディニウム・パンニング・ハムチーズ(1784-1850)
ガーディニウム・パンニング・ハムチーズはフランスボルドー地方付近のハムチーズ家
侯爵の家で生まれた第13代目領主の3男で、幼い頃は筋肉トレーニングと
マラソン、そしてフランスパンをこよなく愛する一般的なりりしい男子
であった。
幼少期にルイ１５世より数学の知識があまりに無さすぎる、と非常に強い
叱咤を受け、一時は領主継承の権限を奪われると噂されたが、
ある日、街のパン屋で買い物をした時にお金が支払えず、その際に
肉体労働で店番とパン焼きを手伝った。その際の店主が
休憩の際に数学を教えた事で、熱心な学術研究家としての道を歩む
事となった。
近年、ガーディニウム・パンニング・ハムチーズが晩年に執筆した
本が農家の蔵より見つかり、ノートルダム大聖堂に寄贈された。
その中に記載されていた式が近年、パリのパン屋を経由して
発表された。
この式は2018年、ガーディニウム・パンニング・ハムチーズの導関数多項式
と名付けられ、現在米マサチューセッツ大学やソルボンヌ大学の
一部の学者に脚光を帯びており、研究されている。
日本ではまだガーディニウム・パンニング・ハムチーズの知名度は低く、
彼の記述した本の和訳はまだ行われていない。
(もちろんデタラメです)
ガーディニウム・パンニング・ハムチーズの導関数多項式
f(x) =
1
sinx
を考える。最終的にf(n)(x=2/π)を容易に導けるような方法を目指す。
上式の両辺にsin(x)をかけて、
sinx・f(x)=1
オイラーの公式により、sin(x)=
eix - e-ix
2i
によりsin(x)を置き換えて、
({eix - e-ix)}・f(x)=2i
ここで両辺を x により n 回微分すると、
dn
dxn
({eix - e-ix)・f(x) } = 0
上記とは別に、以下のライプニッツの定理のg(x)にeix,e-ix
をそれぞれ入れた式を考えてみる。
dn
dxn
{f(x)・g(x)}=
n
Σ
k=0
(
n
k
)
f(n)(x)・g(n-k)(x)
ここで上記ライプニッツの公式、g(x)にeixを入れた式は以下になる。
dn
dxn
{eix・f(x)}=
n
Σ
k=0
(
n
k
)
ik・eix・f(n-k)(x)
また、ここで上記ライプニッツの公式、g(x)にe-ixを入れた式は以下になる。
dn
dxn
{e-ix・f(x)}=
n
Σ
k=0
(
n
k
)
(-i)k・e-ix・f(n-k)(x)
上の２つの式を引くと、
dn
dxn
{(eix-e-ix)・f(x)}=
n
Σ
k=0
(
n
k
)
{ik・eix-(-i)k・e-ix}・f(n-k)(x)
=0
n=0の時、つまりN回部分の所が0階微分の場合、
2i・sinx・f(0)(x)=2i
よって
f(0)(
1
2
)=1
n=1の時
2i・sinx・f(1)(x)=
(
1
1
)
・2・cosx・f(0)
f(1)(
1
2
π)=0
n=2の時
f(2)(
1
2
π)=1
n=3の時
sinx・f(3)(x)=
(
3
1
)
・(-cosx)・f(2)(x)+
(
3
2
)
・sinx・f(1)(x)+
(
3
3
)
・cosx・f(0)(x)
f(3)(
1
2
π)=0
n=4の時
sinx・f(4)(x)=
(
4
1
)
・(-cosx)・f(3)(x)+
(
4
2
)
・sinx・f(2)(x)+
(
4
3
)
・cosx・f(1)(x)+
(
4
4
)
・(-sinx)・f(0)(x)
f(4)(
1
2
π)=
(
4
2
)
-
(
4
4
)
=5
n=5の時
sinx・f(5)(x)=
(
5
1
)
・(-cosx)・f(4)(x)+
(
5
2
)
・sinx・f(3)(x)+
(
5
3
)
・cosx・f(2)(x)+
(
5
4
)
・(-sinx)・f(1)(x)
+
(
5
5
)
・(-cosx)・f(0)(x)
f(5)(
1
2
π)=0
n=6の時
sinx・f(6)(x)=
(
6
1
)
・(-cosx)・f(5)(x)+
(
6
2
)
・sinx・f(4)(x)+
(
6
3
)
・cosx・f(3)(x)+
(
6
4
)
・(-sinx)・f(2)(x)
+
(
6
5
)
・(-cosx)・f(1)(x)+
(
6
6
)
・sinx・f(0)(x)
f(6)(
1
2
π)=
(
6
2
)
f(4)(
1
2
π)-
(
6
4
)
f(2)(
1
2
π)+
f(0)(
1
2
π)
=(
6
2
)
・
{(
4
2
)
-
(
4
4
)}
-
(
6
4
)
+1
=61
f(8)(
1
2
π)=
(
8
2
)
・f(6)(
1
2
π)-
(
8
4
)
・f(4)(
1
2
π)+
(
8
6
)
・f(2)(
1
2
π)-f(0)(
1
2
π)
=
(
8
2
)[(
6
2
)
・
{(
4
2
)
-
(
4
4
)}
-
(
6
4
)
+1
]
-
(
8
4
)
・
{(
4
2
)
-
(
4
4
)}
+
(
8
6
)
-1
=1385
・・・という風に、N回微分するよりは多少分かりやすい、
規則性のある数列が出てきます。
x=1/2πの時だけ、という条件付きではありますが、N回微分したf(n)(x)
という表記を式中に意図的に残し、N階微分多項式の形にする事で、式によってはN回微分が従来の方式より
多少簡単に出来るようになるケースが・・・出て来るかも知れない、という話です。
(実際のとこは簡単な式しか出せない)
ただこれだけｗ
実際のとこ色んな式でやってみると、非常に簡単な式以外は全く予想出来ない。
f(x)=sin(sin(x))とか、f(x)=cos(x)・cos(sin(x))とかは
N回微分した時のf(n)(1/2π) が比較的容易に得られるようです。
二重三角関数でも高速なN回微分コンピューティングが可能になるかも！？！？という所は画期的ですが、
でもやっぱり役に立ちません。
f(x)=cos(x)・cos(sin(n・x))をしつこくやってみたけど、
どういう訳か、難易度が急上昇し、
かなり難しいようです。でっかいカレンダー用紙と時間がないと無理ｗ
この式の場合、cosAxやsinAxがA=4B/4B+1/4B+2/4B+3という４つの
式のまとめた式である、という示唆がどうも得られるようです。
ってほんとかよｗ
ってこんな数学、応用範囲あんのかよ・・・
・・・ゲーム音楽用？
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ほーむ