１３６. 角の３等分線は引けないのだ！

　ｙｏｓｈｉさんから数学の疑問をひとつ。

中学のとき数学の授業で「定規とコンパスだけで角の２等分線を引く」方法を教わりました。 　そのとき先生がいうには、「角の２等分線は引けるが、３等分線になると 90°とか 180°のような特殊な場合を除き、定規とコンパスだけでは絶対に引けない」そうです。 　本当でしょうか。　なぜ「絶対に引けない」と分かるのでしょうか。

　「なぜ引けないの？」と、あらためて聞かれると、困ってしまいますね。
　さて、みなさん！　小学生でもわかるような（私でもわかるような）解説をお願いします。

　お二人の方からお答えをいただきましたが、小学生にはちょっと無理なようです。
　やはり数式から考えていくほかはないようですね。

これは紀元前からある「図形の３大問題」と言われていた中のひとつで、１９世紀に次々と不可能であることが証明されたそうです。 　あとのふたつは、「あたえられた円と同じ面積の正方形を作図する。」「あたえられた立方体の２倍の体積の立方体を作図する。」ということです。　 　私も完全な証明は理解できませんが考え方は次のとおりです。　　 　まず定規とコンパスで何ができるか、できる範囲をすべて考え、角の３等分がその中にないことを言います。 　定規でできることは、「任意の直線を引くこと」「ある点を通る任意の方向の直線を引くこと」「あたえられた２点を通る直線を引くこと」。 　コンパスでできることは、「任意の点、あたえられた直線や円周上の任意の点、またはあたえられた点を中心とする任意のまたはあたえられた長さの半径の円を描くこと」。 　こうして直線や円（円弧）の交点を求め、これらの作業を繰り返すことのみができることです。 　さて直線の式は　ax + by = 1 であらわされ、 　円の式は であらわされます。 　交点を求めることはこれらの１次または２次方程式を解くことと同じであり、結局上記作業を繰り返すことは、あたえられた点、すなわち数値や任意の数値を含む２次方程式を次々に解いていくことになり、２次方程式の有限回の組み合わせで得られない数値は作図できないことになります。 　角の３等分では sin a （中学校で習った３角関数です）が与えられたとき、 sin a/3 が、円の問題では円周率πが、立方体の問題では３乗根２がそれぞれ２次方程式の組み合わせの解にならないことを証明するのに２０００年以上かかったということです。 　２次方程式を組み合わせるとは、ある方程式で求められた解を係数に含む新たな方程式を解くということです。 　２次方程式を組み合わせて sin a/2 や４乗根２を解とする方程式を作るのは簡単で、角の２等分はできるわけです。 　ついでに、無限回の動作を繰り返せばなんでもできそうで、角の３等分も簡単でしょう。実際には同じ作業を５回も繰り返せば実用上十分な精度で、かってな角が３等分できますね。 　また、定規とコンパス以外なら、角を３等分する道具というものもあるそうです。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小西さん

定規で引ける直線は一次式で、コンパスで書ける円は２次式で表されます。 　従ってその交点を求める「作図」からは二次方程式を解いて得られる値を座標に持つ点しか得られません。 　「任意の角θを３等分する」とは、点（０，０）と点（１，０）および長さｃｏｓθを与えた時に、 長さｃｏｓ（θ／３）を得ることと同じです。 　三角関数の公式cosθ=4（cos(θ/3)の３乗）−３cos(θ/3)　より、それは３次方程式を解くことになります。 　したがって、cosθから作図によって得られる値だけを係数に使ってこの３次方程式が 　（一次方程式）×（二次方程式）の形に因数分解できない限り、作図によってはこの値を座標に持つ点は得られません。 　cosθ=-1（θ=π）等、特別な値の場合はもちろん解けます。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　矢野哲夫さん

　小学生には無理どころか、私にも無理でした。
　勉強してみたい方のために、朝凪さんが本を紹介して下さいました。

　とりあえず、三等分したい人のために・・・

少しそれますが、折り紙で三等分したというのを聞いたことがあります。そのやり方で確かピーターフランクルさんに誉められていた記憶があるんですが・・　 　　　　　　　　　　　　（紹介不要）

　ところで、ピーターフランクルさんて、一体誰なんでしょうか。　有名な人だったらごめんなさい！

　良く知られた方法というのは、紙を３つに折る方法でしょうか。　それから、オリジナル版というのは一体どんな方法なのでしょうか。　是非知りたい者です。

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